home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Mathematics / Notebooks / URichCalculusII / 7 / Lab7.ma next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-19  |  19.9 KB  |  305 lines
  1. (*^
  2.  
  3. ::[paletteColors = 128; currentKernel; 
  4.     fontset = title, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, bold, L1, e8,  24, "Times"; ;
  5.     fontset = subtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, bold, L1, e6,  18, "Times"; ;
  6.     fontset = subsubtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, italic, L1, e6,  14, "Times"; ;
  7.     fontset = section, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, grayBox, M22, bold, L1, a20,  18, "Times"; ;
  8.     fontset = subsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, blackBox, M19, bold, L1, a15,  14, "Times"; ;
  9.     fontset = subsubsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, whiteBox, M18, bold, L1, a12,  12, "Times"; ;
  10.     fontset = text, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  11.     fontset = smalltext, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  10, "Times"; ;
  12.     fontset = input, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeInput, M42, N23, bold, L1,  12, "Courier"; ;
  13.     fontset = output, output, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L-5,  12, "Courier"; ;
  14.     fontset = message, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  15.     fontset = print, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  16.     fontset = info, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  17.     fontset = postscript, PostScript, formatAsPostScript, output, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeGraphics, M7, l34, w282, h287, L1,  12, "Courier"; ;
  18.     fontset = name, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, italic, L1,  10, "Times"; ;
  19.     fontset = header, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  20.     fontset = Left Header, nohscroll, cellOutline,  12;
  21.     fontset = footer, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, center, M7, L1,  12;
  22.     fontset = Left Footer, cellOutline, blackBox,  12;
  23.     fontset = help, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  10, "Times"; ;
  24.     fontset = clipboard, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  25.     fontset = completions, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12, "Courier"; ;
  26.     fontset = special1, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  27.     fontset = special2, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  28.     fontset = special3, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  29.     fontset = special4, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  30.     fontset = special5, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  31.     next21StandardFontEncoding; ]
  32. :[font = title; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  33. Lab 7:  Series
  34. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  35. We studied infinite series in Sections 10.12-10.5 of Stein's textbook.  This lab investigates geometric and harmonic series in more detail and pursues some unsolved problems related to them.  Pages 207-213 in the Crooke/Ratcliffe Guidebook cover some of this material.
  36. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  37. Geometric Series
  38. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  39. A geometric series is an infinite series in which the ratio of consecutive terms is constant.  This ratio, r = (a[n+1]) / (a[n]), is called the constant ratio of the geometric series.  We proved in class that the geometric series converges if and only if  -1 < r < 1 , and in this case the series converges to the sum  (a[1]) / (1 - r) .
  40. ;[s]
  41. 3:0,0;144,1;158,2;338,-1;
  42. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  43. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  44. Example
  45. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  46. Here is Example 1 on page 495:
  47. :[font = input; preserveAspect; ]
  48. s[n_] := NSum[ 0.8^i, {i,0,n-1} ]
  49. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  50. This defines the s[n] to be the partial sum of the first n terms of the geometric series:  
  51. 1 + 0.8 + 0.8^2 + 0.8^3 + . . . + 0.8^(n-1) .
  52. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  53. The NSum command computes the sum numerically, producing a decimal approximation.  For example:
  54. ;[s]
  55. 3:0,0;3,1;9,2;96,-1;
  56. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  57. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  58. s[5]
  59. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  60. Here are the first 5 partial sums, just as is shown at the bottom of page 495:
  61. :[font = input; preserveAspect; ]
  62. Table[ {n, s[n]}, {n,1,5} ]  //  TableForm
  63. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  64. The TableForm function displays the data in tabular form (i.e. in columns).
  65. ;[s]
  66. 3:0,0;3,1;14,2;454,-1;
  67. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  68. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  69. The sum of this series is  (a[1]) / (1 - r) = 1 / (1 - 0.8) :
  70. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  71. 1/(1-0.8)
  72. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  73. We can see the rapid convergence to this limit more clearly by the subsequence of every fifth term: a[5], a[10], a[15], . . .  This can be generated by replacing n with 5k and letting k range from 1 to 20:
  74. ;[s]
  75. 7:0,0;161,1;164,2;168,3;172,4;183,5;186,6;206,-1;
  76. 7:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  77. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  78. Table[ {5k, s[5k]}, {k,1,20} ]  //  TableForm
  79. :[font = text; inactive; Cclosed; pageBreak; preserveAspect; startGroup; ]
  80. It looks like the sequence of partial sums has already converged to its limit before reaching the 100th partial sum.  But that is an illusion due to round-off error.  The N function gives a more accurate estimate of s[100]:
  81. ;[s]
  82. 4:0,0;170,1;173,2;201,3;202,-1;
  83. 4:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  84. :[font = input; preserveAspect; ]
  85. N[s[100],50]
  86. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  87. This command asks for 50 decimal digits.  The trailing zeros are omitted.  The output shows that s[100] is very close to the limit 5, but not there yet.
  88. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  89. Exercises
  90. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  91. For each of the following exercises in Stein's book: 
  92. (a) use the NSum function to define the sequence s[n] of partial sums; 
  93. (b) use the Table command to investigate the convergence; 
  94. (c) compute specific values of s[n]  (e.g. N[s[1000],50],  N[s[2000],50], etc.) 
  95.       to estimate the limit; 
  96. (d) compute the limit directly from the formula (a[1]) / (1 - r); 
  97. (e) compare your results with what you did on your homework.
  98. ;[s]
  99. 5:0,0;65,1;71,2;137,3;144,4;424,-1;
  100. 5:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  101. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  102. 1.  {5p.499}
  103. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  104. 2.  {7p.499}
  105. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  106. 3.  {15p.500}
  107. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  108. Harmonic Series and Euler's Constant
  109. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  110. The harmonic series is:  1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + . . .  We proved in class that this series diverges; its sequence of partial sums increases without bound.
  111. ;[s]
  112. 3:0,0;96,1;104,2;160,-1;
  113. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  114. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  115. Here is the sequence of partial sums for the harmonic series:
  116. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  117. s[n_] := NSum[ 1/i, {i,1,n} ]
  118. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  119. Here are the first 16 partial sums:
  120. :[font = input; preserveAspect; ]
  121. Table[ {n, s[n]}, {n,1,16} ]  //  TableForm
  122. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  123. From this limited list it is not clear that the series diverges.
  124. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  125. Here are the partial sums indexed by the first 16 powers of 2 
  126. (i.e. n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . ., 65536):
  127. :[font = input; preserveAspect; ]
  128. Table[ {2^k, s[2^k]}, {k,1,16} ]  //  TableForm
  129. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  130. These partial sums seem to be increasing at almost a constant rate.
  131. :[font = text; inactive; Cclosed; pageBreak; preserveAspect; startGroup; ]
  132. To view explicitly the rate at which those sums are increasing, we'll reproduce the table and include the differences between successive sums:
  133. :[font = input; preserveAspect; ]
  134. Table[ {2^k, s[2^k], s[2^k]-s[2^(k-1)]}, {k,1,10} ]  //
  135.   TableForm
  136. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  137. This shows that (after the first few) each sum is about 0.69 more than its predecessor.  So the sums cannot possibly converge: they will continue to increase without bound.
  138. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  139. We saw in class that the partial sums of the harmonic series increase like Log[n].  Specifically, we used the integral of 1/x to show that  Log[n+1] < s[n] < 1 + Log[n] .  The following table shows that s[n] and Log[n] increase at the same rate:
  140. :[font = input; preserveAspect; ]
  141. Table[ {2^k, s[2^k], N[Log[2^k]]}, {k,1,16} ]  //  TableForm
  142. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  143. The sum of the first 65536 terms of the harmonic series is quite close to Log[65536]: 11.6676 and 11.0904 differ by less than 0.6 .
  144. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  145. To study these two sequences more closely, let f [n] be their difference:
  146. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  147. Clear[f];
  148. f[n_] := s[n] - N[Log[n]]
  149. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  150. Now examine the previous table again, with the difference f [n] included:
  151. :[font = input; preserveAspect; ]
  152. Table[ {2^k, s[2^k], N[Log[2^k]], f[2^k]}, {k,1,16} ]  //  
  153.   TableForm
  154. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  155. As n increases, the difference between s[n] and Log[n] approaches some constant near 0.5772 .  This remarkable fact was discovered by Leonhard Euler over two hundred years ago (without the aid of Mathematica!).
  156. ;[s]
  157. 3:0,0;196,1;207,2;211,-1;
  158. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  159. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  160. The limit of  f [n]  is called Euler's constant.  It is a universal mathematical constant, like p and e.  It is denoted by g (the Greek letter gamma).  Mathematica knows it as EulerGamma (just as it knows p as Pi and e as E).  The N function produces a numerical (decimal) approximation to g:
  161. ;[s]
  162. 21:0,0;31,1;47,2;96,3;97,4;123,5;124,6;152,7;163,8;175,9;187,10;205,11;206,12;209,13;213,14;221,15;223,16;230,17;233,18;290,19;291,20;294,-1;
  163. 21:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;
  164. :[font = input; preserveAspect; ]
  165. N[EulerGamma]
  166. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  167. Evidently, f [n] approaches this number as a limit:
  168. :[font = input; preserveAspect; ]
  169. Table[ f[n], {n,1,16} ]
  170. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  171. Table[ f[2^k], {k,1,16} ]
  172. :[font = subsection; inactive; Cclosed; pageBreak; preserveAspect; startGroup; ]
  173. Exercises
  174. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  175. 1.  Examine f [n] for large n (up to a billion).  Compare it to N[EulerGamma,10].
  176.      Determine to how many decimal places f [1000000000] agrees with EulerGamma.
  177. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  178. 2.  Examine Euler's constant to a large number (at least 100) of decimal places.
  179.      See if you can discern any pattern to the digits.  Recall that a number is rational
  180.      if and only if it has a repeating decimal expansion.
  181. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  182. p-Series and Riemann's Zeta Function
  183. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  184. The harmonic series is one of the family of p-series ( sum of 1 / (n^p) ), so named because the series are parametrized with the parameter p.
  185. ;[s]
  186. 3:0,0;44,1;52,2;212,-1;
  187. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  188. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  189. We can define one function to cover the entire family of p-series by using p as a variable:
  190. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  191. s[p_,n_] := NSum[ 1/i^p, {i,1,n} ]
  192. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  193. Then  s[1,n]  is the partial sum of the first n terms of the harmonic series:
  194. :[font = input; preserveAspect; ]
  195. Table[ {n, s[1,n]}, {n,1,10} ]  //  TableForm
  196. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  197. and  s[2,n]  is the partial sum of the first n terms of the series  1 + 1/4 + 1/9 + . . . :
  198. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  199. Table[ {n, s[2,n]}, {n,1,10} ]  //  TableForm
  200. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  201. In class, we used the Integral Test to show that a p-series converges if and only if p > 1.
  202. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  203. Here are the partial sums of the p-series for p=2, indexed by powers of 10:
  204. :[font = input; preserveAspect; ]
  205. Table[ {10^k, s[2,10^k]}, {k,0,8} ]  //  TableForm
  206. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  207. Evidently, this series converges to 1.64493...
  208. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  209. It is shown in advanced mathematics courses that this limit is actually:
  210. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  211. N[Pi^2/6]
  212. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  213. 1.644934066848226
  214. ;[o]
  215. 1.64493
  216. :[font = text; inactive; Cclosed; pageBreak; preserveAspect; startGroup; ]
  217. Similarly, the p-series with p=4 ( sum of 1 / (n^4) ) converges to:
  218. :[font = input; preserveAspect; ]
  219. Table[ {10^k, s[4,10^k]}, {k,0,8} ]  //  TableForm
  220. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  221. which is:
  222. :[font = input; preserveAspect; ]
  223. N[Pi^4/90]
  224. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  225. Since the p-series converges for all p > 1, it defines a function of p:
  226.              1 / (1^p) + 1 / (2^p) + 1 / (3^p) + 1 / (4^p) + 1 / (5^p) + . . . + 1 / (n^p) + . . . 
  227. This function was originally studied by Euler.  Later, Georg Riemann (the same mathematician after whom Riemann sums are named) studied the function with p ranging over all complex numbers (x + i y).  He denoted the function by z(p) (z is the Greek letter zeta).  Since then, it has been known as the Riemann zeta function z(p).
  228. ;[s]
  229. 9:0,0;400,1;401,2;406,3;407,4;473,5;494,6;495,7;496,8;500,-1;
  230. 9:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  231. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  232. Mathematica knows the Riemann zeta function as Zeta[p]:
  233. ;[s]
  234. 4:0,0;11,1;46,2;54,3;56,-1;
  235. 4:1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  236. :[font = input; preserveAspect; ]
  237. Zeta[2]
  238. :[font = input; preserveAspect; ]
  239. Zeta[4]
  240. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  241. These are the limits that we obtained above for s[2,n] and s[4,n]:
  242. :[font = input; preserveAspect; ]
  243. { N[Zeta[2]], N[s[2,1000000]] }
  244. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  245. { N[Zeta[4]], N[s[4,1000000]] }
  246. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  247. Here is the graph of the Riemann zeta function for p in the range 2 to 8:
  248. :[font = input; preserveAspect; ]
  249. Plot[ Zeta[x], {x,1.5,8}] ;
  250. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  251. The value at x=2 is about 1.64493, and the value at x=4 is about 1.08232.
  252. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  253. As a function of a complex variable, the Riemann zeta function has fascinated mathematicians for over a century.  Riemann himself conjectured in 1859 that the only complex numbers p at which z(p)=0 are those whose real part is 1/2.  That means that the complex number p=x+iy must have x=1/2 in order for  z(p)=0.   Whether this is true is still unknown.  This is the celebrated Riemann Hypothesis. It is one of the great unsolved problems in mathematics.
  254. ;[s]
  255. 13:0,0;180,1;181,2;191,3;192,4;193,5;194,6;305,7;306,8;307,9;308,10;378,11;396,12;805,-1;
  256. 13:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  257. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  258. We can study the Riemann zeta function at complex values whose real part is 1/2 by using the variable p = 1/2 + I*y.  (Mathematica uses I for the constant i, the  square root of -1.)
  259. ;[s]
  260. 9:0,0;101,1;115,2;119,3;130,4;135,5;138,6;155,7;156,8;182,-1;
  261. 9:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  262. :[font = input; preserveAspect; ]
  263. Plot[ Abs[ Zeta[1/2+I*y] ], {y,0,35} ];
  264. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  265. We see here that the Riemann zeta function has 5 zeros (places where the function is 0) in the range 0 to 35 for y.  We have to use the absolute value function Abs because the actual values of the zeta function are complex numbers.
  266. ;[s]
  267. 5:0,0;113,1;114,2;159,3;209,4;214,-1;
  268. 5:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;
  269. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  270. The chart on the wall in the Workstation Lab shows the graph of the Riemann zeta function for a much larger range of y.  This active area of mathematical research has been facilitated by the use of Mathematica.
  271. ;[s]
  272. 5:0,0;117,1;118,2;198,3;209,4;212,-1;
  273. 5:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  274. :[font = subsection; inactive; Cclosed; pageBreak; preserveAspect; startGroup; ]
  275. Exercises
  276. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  277. 1.  Use the Riemann zeta function to obtain a numerical value for the sum of:
  278.     (a)  the p-series with p=3.
  279.     (b)  the p-series with p=6.
  280.     (c)  the p-series with p=1.01.
  281. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  282. 2.  Mathematica can give symbolic (i.e. exact) values for the sum of the p-series
  283.      when p is an even positive integer.  For example, we saw above that the sum
  284.      for p=2 was Pi^2/6.  Obtain the symbolic value of the sum of:
  285.     (a)  the p-series with p=6.
  286.     (b)  the p-series with p=8.
  287.     (c)  the p-series with p=10.
  288. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  289. 3.  Why is the Riemann zeta function asymptotic to the X-axis?
  290. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  291. 4.  What happens to Zeta[p] as p approaches 1?
  292. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  293. 5.  How many zeros does the Riemann zeta function have in the range of y:
  294.     (a)  0 to 50 ?
  295.     (b)  50 to 100 ?
  296.     (c)  100 to 150 ?
  297. ;[s]
  298. 3:0,0;71,1;72,2;128,-1;
  299. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  300. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  301. 6.  Estimate to five significant digits the smallest positive zero (near y=14).
  302. ;[s]
  303. 3:0,0;73,1;74,2;80,-1;
  304. 3:1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,10,8,Times,2,12,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  305. ^*)